Vektorielle Geometrie / Band 1

Parallelverschiebung, Spalten- & Ortsvektor, Länge und lineare Abhängigkeit

Blick ins Material

Vektorielle Geometrie / Band 1

Parallelverschiebung, Spalten- & Ortsvektor, Länge und lineare Abhängigkeit

Typ:
Unterrichtseinheit
Umfang:
64 Seiten (9,5 MB)
Verlag:
Kohl Verlag
Autor:
Theuer, Barbara
Auflage:
1 (2021)
Fächer:
Mathematik
Klassen:
10-13
Schultyp:
Gymnasium

Der Arbeitsband ist vorgesehen zum Einsatz in der Sekundarstufe im 10.-13. Schuljahr. Die Arbeitsblätter sind optimal geeignet zum Einsatz in der Freiarbeit und mit Lösungen – auch zur Selbstkontrolle – ausgestattet.

Dieses Thema macht vielen Schülern gegen Ende ihrer Schulbahn richtig zu schaffen, darum lieber gleich eine gute Grundlage mit diesem Werk schaffen. Bildhaft – Flugzeugstaffel, Magnetisierte Eisenteilchen, Bilder von M.C. Escher – wird der Begriff Vektor als Parallelverschiebung eingeführt. Recht flott geht des dann von der Fläche in die 3D-Welt. Man kann jetzt wie gewohnt Spalte für Spalte rechnen, hoffentlich bekanntes Wissen – Pythagoras, Quader, Pyramide, Ähnlichkeit – brauchen wir hier und kapieren es jetzt erst so richtig. So eine spannende Darstellung findet man so schnell nicht wieder!

Im Unterricht der gymnasialen Oberstufe und folglich auch in den Abiturprüfungsaufgaben stellt die vektorielle Geometrie einen bedeutenden Themenkomplex dar. Der vorliegende erste Band soll dazu beitragen, das Grundverständnis für die Bedeutung von Vektoren, das Operieren mit Vektoren und deren geometrische Anwendungen zu verbessern sowie entsprechendes Übungsmaterial anzubieten.

Um die Definition des mathematischen Objektes Vektor als Größe, welche durch Betrag und Richtung gekennzeichnet ist, anschaulich zu machen, werden im Einführungsteil fachübergreifend Sachverhalte aus der Physik vorgestellt wie beispielsweise der Zusammenhang zwischen der zum Erdmittelpunkt gerichteten Gewichtkraft eines auf der geneigten Ebene transportierten Körpers und seinen Kraftkomponenten Normalkraft und Hangabtriebskraft. Auch werden die Eigenschaften elektrischer und magnetischer Felder zur Motivation für die Bedeutung von Vektoren eingebunden, denn Feldlinien machen deutlich, dass nicht nur der Betrag der Feldkräfte, sondern auch ihre Richtung zur Beschreibung der Eigenschaften des entsprechenden Kraftfelds bedeutsam sind. Als anschauliches ästhetisches Beispiel für die Deutung eines Vektors als Verschiebungspfeil für die Kongruenzabbildung geometrischer Objekte werden Graphiken von M. C. Escher (1898-1972) vorgestellt.

Den Schwerpunkt in der Unterrichtseinheit bilden Übungen zur Koordinatenschreibweise von Vektoren der Ebene und des Raumes mittels Spaltenvektoren, zu ihrer Darstellung im ebenen und räumlichen Koordinatensystem, zur Definition und Berechnung des Betrages eines Vektors sowie zu einfachen Rechenoperationen wie Vervielfachen, Addition und Subtraktion von Vektoren – zeichnerische und rechnerische Lösungen beinhaltend.

Einfache geometrische Anwendungen wie zum Beispiel die Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke oder die Untersuchung der Lagebeziehung von Punkt und Gerade zeigen, dass man mit der Vektorrechnung Aufgaben vorteilhaft lösen kann.

Im letzten Abschnitt werden die – besonders auch für die später zu behandelnde Beschreibung von Ebenen im Raum bedeutsamen – innermathematischen Begriffe wie Linearkombination von Vektoren, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit definiert sowie entsprechende Übungen angeboten.

Inhalt:
  • Was versteht man unter Vektoren?
    • Beispiele aus der Praxis
      • (Blatt 1-2) vektorielle Größen – skalare Größen
    • Definition des Vektorbegriffes und mathematische Symbolik
      • (Blatt 1-3) Vektor – Urbildpunkt – Bildpunkt – Startpunkt – Endpunkt – Betrag – Gegenvektor – Nullvektor
    • Koordinatenschreibweise eines Vektors
      • (Blatt 1-2) Spaltenvektoren in der Ebene – Koordinaten – Ortsvektor
      • (Blatt 3) Punkte im räumlichen Koordinatensystem
      • (Blatt 4) Koordinatenebene – Aufgabe Pyramide
      • (Blatt 5-7) Spaltenvektoren im Raum – Koordinaten – Ortsvektor
  • Der Betrag eines Vektors
    • (Blatt 1-2) Betrag als skalare Größe
    • (Blatt 3) Bestimmung einer Koordinate bei bekanntem Betrag – Abstand zweier Punkte
    • (Blatt 4) Einheitsvektor
  • Einfache geometrische Anwendungen
    • Vektoren aus Punkten in Quader und Dreieck
  • Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
      • (Blatt 1-2) Addition – Kommutativ- und Assoziativgesetz – Nullvektor
      • (Blatt 3-6) Subtraktion – Gegenvektor – Gleichungen
    • Vervielfachen von Vektoren
      • (Blatt 1) Multiplikation mit einer reellen Zahl
      • (Blatt 2) Distributivgesetz
  • Kollineare Vektoren
  • Geometrische Anwendungen
    • (Blatt 1-2) Quader – Trapez – Punkt und Gerade
    • (Blatt 3) Mittelpunkt einer Strecke
  • Linearkombinationen von Vektoren
    • (Blatt 1-3) komplanare Vektoren
  • Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren
    • (Blatt 1) Nullvektor trivial/nichttrivial linear kombinieren
    • (Blatt 2) Richtungsvektoren der Achsen – Zusammenhänge – Vektoren im Quader linear kombinieren
  • Blanko-Koordinatensysteme

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Material-Nr.: 76308

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