In dieser Unterrichtseinheit für die Oberstufe (Abitur) im Fach Mathematik wird sich mit der Aufgabenstellung, Wachstumsprozesse mathematisch zu beschreiben, ein. Diese Arbeitsblätter widmen sich den Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen.

Nach einer Einleitung folgen elementare Untersuchungen der Eigenschaften von Potenzfunktionen und Berechnungen ohne Differentialrechnung – geeignet zur Wiederholung und Festigung der Grundlagen zu diesem Funktionstyp. Dabei kommt auch der Betrachtung der Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen Bedeutung zu.

Der Inhalt der Kopiervorlagen beschränkt sich nicht auf Übungen zu Kurvenuntersuchungen. Vielmehr sollen die Aufträge die Schüler auch dazu führen, die Bedeutung des Ableitungsbegriffes als Grenzwert der Änderungsrate einer Größe für einen gegen Null strebenden Zeitraum sowie die Zusammenhänge zwischen Anstieg des Graphen einer Funktion, ihres Monotonieverhaltens und Krümmungsverhaltens, und der Existenz von Extrem- und Wendepunkten zu vertiefen. Gerade im Zusammenhang mit der Nutzung des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) sollte mit inhaltlichen Betrachtungen von mathematischen Begriffen und Verfahren einem starren Vorgehen nach Formeln und rein mechanischer Benutzung des Taschenrechners entgegengewirkt werden.

• Funktionen beschreiben Wachstumsprozesse
• Monotonieverhalten von Funktionen
• Elementare Funktionsuntersuchungen von linearen und quadratischen Funktionen
• Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Systematisierung von Potenzfunktionen
• Umkehrfunktionen
• Wurzelfunktionen
• Polynomfunktionen
• Der Differentialquotient zur Bestimmung des Anstieges einer Funktion
• Wachstumsverhalten von Funktionen und Änderungsrate
• Die Potenzregel zum Differenzieren von Potenzfunktionen
• Weitere elementare Ableitungsregeln
• Die Ableitung von Wurzelfunktionen
• Tangenten an Funktionsgraphen
• Was interessiert? – Eigenschaften von Funktionsgraphen
• Monotonieverhalten von Funktionen und erste Ableitung
• Krümmungsverhalten und zweite Ableitung
• Anwendung des Monotonie- und Krümmungskriteriums beim Zeichnen von Funktionsgraphen
• Verhalten der Ableitungsfunktionen an Extrem- und Wendestellen
• Tangenten, lokale und globale Extrema sowie andere Irrtümer – Ein Quiz
• Notwendige und hinreichende Kriterien für Extrema und Wendepunkte
• Beispiel für eine vollständige Kurvendiskussion
• Übungen zur Kurvendiskussion von Potenzfunktionen
• Teste dich selbst
• Die Lösungen